Proposisi
Di dalam matematika, tidak semua
kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah
saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition).
Proposisi adalah kalimat deklaratif
yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat
sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai
kebenarannya (truth value).
Contoh berikut ini dapat
mengilustrasikan kalimat yang merupakan proposisi dan mana yang bukan.
Contoh 1.1
a) 6 adalah
bilangan genap
b) Soekarno adalah
Presiden Indonesia yang pertama
c) 2 + 2 = 4
d) Ibukota
Provinsi Jawa Barat adalah Semarang
e) 12 ≥ 19
f) Kemarin
hari hujan
g) Suhu di permukaan
laut adalah 21 derajat celcius
h) Pemuda itu tinggi
i) Kehidupan
hanya ada di Planet Bumi
Semuanya merupakan proposisi.
Proposisi a, b, c bernilai benar, tetapi proposisi d salah karena ibukota Jawa
Barat seharusnya Bandung dan proposisi e bernilai salah karena seharusnya 12 ≤
19. Proposisi f sampai I memang tidak dapat langsung ditetapkan kebenarannya,
namun satu hal yang pasti, proposisi-proposisi tersebut tidak mungkin benar dan
salah sekaligus. Kita bisa menetapkan nilai proposisi tersebut benar atau
salah. Misalnya, proposisi f bias kita andaikan benar (hari kemarin memang
hujan) atau salah (hari kemarin tidak hujan). Demikian pula halnya untuk
proposisi g dan h. Proposisi i bias benar atau salah, karena sampai saat ini
belum ada ilmuwan yang dapat memastikan kebenarannya.
Contoh 1.2
a) Jam berapa
kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?
b) Serahkan uangmu
sekarang!
c) x + 3 = 8
d) x > 3
bukan proposisi. Kalimat a adalah
kalimat Tanya, sedangkan kalimat b adalah kalimat perintah, keduanya tidak
mempunyai nilai kebenaran. Dari contoh 1.1 dan 1.2 di atas, dapat disimpulkan
bahwa proposisi selalu dinyatakan sebagai kalimat berita, bukan sebagai kalimat
Tanya maupun kalimat perintah. Kalimat c dan d bukan proposisi karena kedua
kalimat tersebut tidak dapat ditentukan benar maupun salah sebab keduanya
mengandung peubah (variable) yang tidak dispesifikasikan nilainya. Tetapi
kalimat
“Untuk sembarang bilangan
bulat n ≥ 0, maka 2n adalah bilangan genap”
Bidang logika yang membahas
proposisi dinamakan kalkulus proposisi(propositional calculus)
atau logika proposisi (propositional logic).
Secara simbolik, proposisi biasanya
dilambangkan dengan huruf kecil sepertip, q, r,
…. misalnya,
p:
6 adalah bilangan genap,
Untuk mendefinisikan p sebagai
proposisi “6 adalah bilangan genap”. Begitu juga untuk
q :
soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama.
r :
2 + 2 = 4.
dan sebagainya.
Mengkombinasikan Proposisi
Operator yang digunakan untuk
mengkombinasikan proposisi disebutoperator logika. Operator logika dasar
yang digunakan adalah dan (and),atau (or),
dan tidak (not). Dua operator pertama dinamakan
operator binerkarena operator tersebut mengoperasikan dua buah
proposisi, sedangkan operator ketiga dinamakan operator uner karena
ia hanya membutuhkan satu buah proposisi.
Proposisi baru yang diperoleh dari
pengkombinasian tersebut dinamakanproposisi majemuk (compound
proposition). proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain
disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk ada tiga macam, yaitu
konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Ketiganyadidefinisikan sebagai berikut:
DEFINISI. Misalkan dan adalah
proposisi. Konjungsi (conjunction) dan , dinyatakan dengan notasi ,
adalah proposisi
p dan
Disjungsi (disjunction)
dan , dinyatakan dengan notasi , adalah proposisi
p atau
Ingkaran atau (negation) dari
, dinyatakan dengan p, adalah proposisi tidak p
Catatan:
- Beberapa literatur menggunakan notasi “p”, ””, atau ”not p” untuk menyatakan lingkaran.
- Kata “tidak” dapat dituliskan di tengah pernyataan. Jika kata “tidak” diberikan di awal pernyataan maka ia biasanya disambungkan dengan kata “benar” menjadi “tidak benar”. Kata “tidak” dapat juga diganti dengan “bukan” bergantung dengan rasa bahasa yang tepat untuk pernyataan tersebut.
Berikut contoh-contoh proposisi
majemuk dan notasi simboliknya. Ekspresi proposisi majemuk dalam notasi
simbolik disebut juga ekspresi logika.
Contoh 1.2
Diketahui proposisi-proposisi
berikut:
p:
Hari ini hujan
q :
Murid-murid diliburkan dari sekolah
Maka
pq :
Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah
pq :
Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah
p :
Tidak benar hari ini hujan (atau dalam kalimat lain yang lebih lazim: Hari ini
tidak hujan)
Tabel Kebenaran
Nilai kebenaran dari proposisi
majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi atomiknya dan cara
mereka dihubungkan oleh operator logika.
- Misalkan p dan q adalah proposisi.
- Konjungsi p ^ q bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah
- Disjungsi p v q bernilai salah jika p dan q keduanya salah, selain itu nilainya benar
- Negasi p, yaitu ~p, bernilai benar jika p salah, dan sebaliknya
Misalkan
p:
17 adalah bilangan prima
q:
bilangan prima selalu ganjil
jelas bahwa p bernilai
benar dan q bernilai salah sehingga konjungsi
p ^ q:
17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil adalah salah.
Satu cara yang praktis untuk
menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk adalah menggunakan tabel kebenaran.
Tabel kebenaran menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dari proposisi
atomik. Tabel 1.1 menunjukkan tabel kebenaran untuk konjungsi, disjungsi, dan
ingkaran. Pada tabel tersebut, T=true(benar), dan F=false(salah).
Tabel 1.1 Tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, dan ingkaran
|
p
|
q
|
p ^ q
|
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
F
|
|
F
|
F
|
F
|
|
p
|
q
|
p v q
|
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
|
p
|
q
|
|
T
|
F
|
|
F
|
T
|
Contoh soal: Jika p, q, radalah
proposisi. Bentuklah tabel kebenaran dari ekspresi logika
(p ^ q) v (~q ^ r)
Penyelesaian:
Ada 3 buah proposisi atomic di dalam
ekspresi logika dan setiap proposisi hanya mempunyai 2 kemungkinan nilai,
sehingga jumlah kombinasi dari semu proposisi tersebut adalah buah. Tabel
kebenaran dari proposisi (p ^ q) v (~q ^ r) ditunjukkan pada tabel 1.2.
Tabel 1.2 tabel kebenaran proposisi (p ^ q) v (~q ^ r)
|
p
|
q
|
r
|
p ^ q
|
~q
|
~q ^ r
|
(p ^ q) v (~q ^ r)
|
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
Proposisi majemuk dapat selalu
bernilai benar untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing-masing
proposisi atomiknya, atau selalu bernilai salah untuk berbagai kemungkinan
nilai kebenaran masing-masing proposisi atomiknya. Jadi, sebuah proposisi
majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus,
sebaliknya disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua
kasus.
Yang dimaksud dengan “semua kasus”
di dalam definisi si atas adalah semua kemungkinan nilai kebenaran dari
proposisi atomiknya. Proposisi tautologi dicirikan pada kolom terakhir pada
tabel kebenarannya hanya memuat True. Proposisi kontradiksi
dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat False.
TAUTOLOGI
Tautologi adalah pernyataan majemuk
yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari
pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan
Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan
Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan
tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut
Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan
dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[1]
Contoh:
Lihat pada argumen berikut:
Jika Tono pergi kuliah, maka Tini
juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian,
jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.
Diubah ke variabel proposional:
A Tono pergi kuliah
B Tini pergi kuliah
C Siska tidur
Diubah lagi menjadi ekspresi logika
yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah
premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.
(1) A →
B (Premis)
(2) C →
B (premis)
(3) (A V C) →
B (kesimpulan)
Maka sekarang dapat ditulis: ((A →
B) ÊŒ (C → B)) → ((A V C) →
B
|
A
|
B
|
C
|
A → B
|
C → B
|
(A → B) ÊŒ (C → B)
|
A V C
|
(A V C) → B
|
|
|
B
B
B
B
S
S
S
S
|
B
B
S
S
B
B
S
S
|
B
S
B
S
B
S
B
S
|
B
B
S
S
B
B
B
B
|
B
B
S
B
B
B
S
B
|
B
B
S
S
B
B
S
B
|
B
B
B
B
B
S
B
S
|
B
B
S
S
B
B
S
B
|
B
B
B
B
B
B
BB
|
Dari tabel kebenaran diatas
menunjukkan bahwa pernyataan majemuk :
Contoh tautologi dengan menggunakan
tabel kebenaran:
- (p ʌ ~q) p
Pembahasan:
|
p
|
q
|
~q
|
(p ʌ ~q)
|
(p ʌ ~q) p
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
B
S
B
|
S
B
S
S
|
B
B
B
B
|
Ini adalah tabel kebenaran yang
menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar
atau True (T). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q) p selalu benar.
- [(p q) ʌ p] p q
Pembahasan:
|
p
|
q
|
(p q)
|
(p q) ʌ p
|
[(p q) ʌ p] p q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
B
B
|
B
S
S
S
|
B
B
B
B
|
(1)
(2)
(3)
(4) (5)
Berdasrkan tabel diatas pada kolom
5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain,
pernyataan
majemuk [(p q) ʌ p] p q selalu benar
Pembuktian dengan cara kedua yaitu
dengan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum
ekuivalensi logika.
Contoh:
- (p ʌ q) q
Penyelesaian:
(p ʌ q) q ~(p ʌ q) v q
~p v ~q v q
~p v T
T ………….(Tautologi)
Dari pembuktian diatas telah
nampaklah bahwa pernyataan majemuk dari (p ʌ q) q adalah tautologi karena hasilnya T
(true) atau benar.
Pembuktian dengan menggunakan tabel
kebenaran dari pernyataan majemuk (p ʌ q) q yaitu:
|
P
|
q
|
(p ʌ q)
|
(p ʌ q) q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
B
B
B
T
|
Pada tabel diatas nampaklah bahwa
kalimat majemuk (p ʌ
q) q merupakan Tautologi.
- q (p v q)
penyelesaian:
q (p v
q) ~q v (p v q)
~q v (q v p)
T v p
T …………(Tautologi)
KONTRADIKSI
Kontradiksi adalah kebalikan dari
tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi
yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa
memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan
apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan.
Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan
bernilai F atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu
dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12
hukum-hukum Ekuivalensi Logika.
Contoh dari Kontradiksi:
- (A ʌ ~A)
Pembahasan:
|
A
|
~A
|
(A ʌ ~A)
|
|
B
S
|
S
B
|
S
S
|
Dari tabel kebenaran diatas dapatlah
disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.
- P ʌ (~p ʌ q)
Pembahasan:
|
p
|
q
|
~p
|
(~p ʌ q)
|
P ʌ (~p ʌ
q)
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
S
B
S
|
S
S
S
S
|
Ini adalah tabel kebenaran yang
menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah
(F).
Ekuivalensi Logika
Dua atau lebih pernyataan majemuk
yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi
“ dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan
majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai
kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.
Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika:
- Hukum komutatif:
p ʌ q q ʌ p
p v q q v p
- Hukum asosiatif:
(p ʌ q) ʌ
r p ʌ
(q ʌ
r)
(p v q) v r p v (q v
r)
- Hukum distributif:
p ʌ (q v r) (p ʌ q) v (p ʌ
r)
p v (q ʌ r) (p v q) ʌ (p v r)
- Hukum identitas:
p ʌ T p
p v F p
- Hukum ikatan (dominasi):
P v T T
P v F F
- Hukum negasi:
P v ~p T
P ʌ ~p F
- Hukum negasi ganda (involusi):
~(~p) p
- Hukum idempoten:
P ʌ p p
p v p p
- Hukum de morgan:
~( p ʌ q) ~p v ~q
~(p v q) ~p ʌ ~q
- Hukum penyerapan (absorpsi):
p v (P ʌ q) p
P ʌ (p v q) p
- Hukum T dan F:
~T F
~F T
- Hukum implikasi ke and/or:
P q ~p v q
Dengan adanya hukum-hukum diatas,
penyelesaian soal-soal baik yang bersifat tautologi, kontradiksi dan
ekuivalensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran namun juga bisa
dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan 12 (dua belas)
hukum-hukum ekuivalensi logika tersebut.
Dengan menggunakan prinsip-prinsip
di atas, maka kalimat-kalimat yang kompleks dapat disederhanakan, seperti
contoh berikut:
- Buktikan ekuivalensi berikut: ~(p v ~q) v (~p ʌ ~q) ~p
Jawab:
~(p v ~q) v (~p ʌ ~q) (~p ʌ q) v (~p ʌ ~q)
~p
ʌ (q v ~q)
~p
ʌ T
~p
………..(terbukti)
- Tunjukkan bahwa: ~(p v q) (~p ʌ ~q)
Tabel kebenaran ~(p v q)
dan (~p ʌ ~q)
yaitu:
|
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p v q
|
~(p v q)
|
(~p ʌ ~q)
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
B
S
B
|
B
B
B
S
|
S
S
S
B
|
S
S
S
B
|
(1)
(2)
(3) (4)
(5)
(6) (7)
Dari tabel diatas pada kolom ke(6)
dan (7), jelas bahwa ~(p v q) (~p ʌ ~q).
Jadi, ~(p v q) (~p ʌ ~q).
Munir, Rinaldi, Matematika Diskrit,
Informatika, 2005
Hukum-Hukum Aljabar Proposisi
Setiap proposisi yang saling
ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya.
Hukum-hukum aljabar Proposisi adalah sebagai berikut:
a. Hukum Idempoten
(Idem)
- p∨p ek p
- p∧p ek p
b. Hukum Asosiatif
(As)
- (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)
- (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)
c. Hukum
Komutatif (Kom)
d. Hukum
Distributif (Dist)
- p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)
- p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)
e. Hukum Identitas
(Id)
- p∨F ek p
- p∨T ek T
- p∧F ek F
- p∧T ek p
f. Hukum Komplemen
(Komp)
- p∨∼p ek T
- p∧∼p ek F
- ∼(∼p) ek p
- ∼T ek F
g. Hukum
Transposisi (Trans)
·
p⇒q ek ∼q⇒∼p
h. Hukum Implikasi
(Imp)
·
p⇒q ek ∼p∨q
i. Hukum Ekivalensi (Eki)
- p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)
- p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)
j. Hukum Eksportasi (Eksp)
·
(p∧q)⇒r ek p⇒(q⇒r)
k. Hukum De Morgan
(DM)
- ∼(p∨q) ek ∼p∧∼q
- ∼(p∧q) ek ∼p∨∼q
Pembuktian Hukum-Hukum
Aljabar Proposisi
a. Hukum Idempoten
(Idem)
- p v q ek p
- p ∧ p ek p
|
P
|
Q
|
p v q
|
p ^ q
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
B
|
S
|
|
S
|
B
|
B
|
S
|
|
S
|
S
|
S
|
S
|
b. Hukum Asosiatif
(As)
- (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)
|
p
|
Q
|
r
|
Pvq
|
Qvr
|
pv(qvr)
|
(pvq)vr
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
- (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)
|
p
|
Q
|
r
|
p^q
|
q^r
|
p^ (q^r)
|
(p^q) ^r
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
c. Hukum
Komutatif (Kom)
- p∨q ek q∨p
- p∧q ek q∧p
|
p
|
q
|
p v q
|
qvp
|
p ^ q
|
q ^ p
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
d. Hukum
Distributif (Dist)
- p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)
|
p
|
q
|
R
|
pvq
|
pvr
|
q^r
|
pv(q^r)
|
(pvq) ^ (pvr)
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
- p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)
|
P
|
q
|
R
|
p^q
|
p^r
|
qvr
|
p^ (qvr)
|
(p^q) v (p^r)
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
e. Hukum Identitas
(Id)
- p∨F ek p
- p∨T ek T
- p∧F ek F
- p∧T ek p
|
p
|
S
|
B
|
p v S
|
p v B
|
p ^ S
|
p ^ B
|
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
f. Hukum Komplemen
(Komp)
- p∨∼p ek B
- p∧∼p ek S
∼(∼p) ek p
∼B ek S
|
p
|
~ p
|
~(~ p)
|
B
|
~B
|
S
|
p v ~p
|
p ^ ~p
|
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
g. Hukum
Transposisi (Trans)
·
p→q ek ∼q→∼p
|
p
|
Q
|
~ q
|
~ p
|
p → q
|
~q → ~p
|
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
h. Hukum Implikasi
(Imp)
·
p→q ek ∼p∨q
|
p
|
Q
|
~ p
|
p → q
|
~p v q
|
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
i. Hukum Ekivalensi (Eki)
- p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)
|
p
|
q
|
p⇔q
|
(p⇒q)
|
(q⇒p)
|
(p⇒q)∧(q⇒p)
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
- p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)
|
P
|
q
|
∼q
|
∼p
|
p⇔q
|
(p∧q)
|
(∼q∧∼p)
|
(p∧q)∨(∼q∧∼p)
|
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
j. Hukum Eksportasi (Eksp)
·
(p∧q)⇒r ek p⇒(q⇒r)
|
P
|
q
|
r
|
(p∧q)
|
(p∧q)⇒r
|
(q⇒r)
|
p⇒(q⇒r)
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
k. Hukum De Morgan
(DM)
- ∼(p∨q) ek ∼p∧∼q
|
p
|
q
|
∼q
|
∼p
|
(p∨q)
|
∼(p∨q)
|
∼p∧∼q
|
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
- ∼(p∧q) ek ∼p∨∼q
|
P
|
q
|
∼q
|
∼p
|
(p∧q)
|
∼(p∧q)
|
∼p∨∼q
|
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
Tidak ada komentar:
Posting Komentar